1 集合、逻辑与实数系 #
本章给出高等数学使用的语言基础：用集合描述对象，用逻辑描述命题，用实数系的连续性支撑极限理论．
1.1 集合与运算
高中集合是把一些确定的、互不相同的对象看作一个整体．
- 常用数集：\(\mathbb{N}\)（自然数）、\(\mathbb{Z}\)（整数）、\(\mathbb{Q}\)（有理数）、\(\mathbb{R}\)（实数）、\(\mathbb{C}\)（复数）．
- 属于：\(a\in A\)；不属于：\(a\notin A\)．
- 子集：\(A\subseteq B\)（\(A\) 中元素都在 \(B\) 中）；真子集：\(A\subsetneq B\)．
- 空集：\(\varnothing\)，规定 \(\varnothing\subseteq A\) 对任意集合成立．
集合运算
并集 \(A\cup B=\{x\mid x\in A\ \text{或}\ x\in B\}\)
交集 \(A\cap B=\{x\mid x\in A\ \text{且}\ x\in B\}\)
差集 \(A\setminus B=\{x\mid x\in A\ \text{且}\ x\notin B\}\)
补集 \(\complement_U A=\{x\mid x\in U\ \text{且}\ x\notin A\}\)
交集 \(A\cap B=\{x\mid x\in A\ \text{且}\ x\in B\}\)
差集 \(A\setminus B=\{x\mid x\in A\ \text{且}\ x\notin B\}\)
补集 \(\complement_U A=\{x\mid x\in U\ \text{且}\ x\notin A\}\)
德·摩根律
\(\complement_U(A\cup B)=\complement_U A\cap\complement_U B\)
\(\complement_U(A\cap B)=\complement_U A\cup\complement_U B\)
\(\complement_U(A\cap B)=\complement_U A\cup\complement_U B\)
1.2 常用逻辑用语
衔接高等数学大量使用量词与蕴含关系．
| 名称 | 符号 | 读法 / 含义 |
|---|---|---|
| 全称量词 | \(\forall\) | 对任意、对所有 |
| 存在量词 | \(\exists\) | 存在、至少有一个 |
| 且 / 合取 | \(\land\) | 两者都成立 |
| 或 / 析取 | \(\lor\) | 至少一个成立 |
| 非 / 否定 | \(\lnot\) | 命题的否定 |
| 蕴含 | \(\Rightarrow\) | 若 \(P\) 则 \(Q\)，记 \(P\Rightarrow Q\) |
| 等价 | \(\Leftrightarrow\) | \(P\Rightarrow Q\) 且 \(Q\Rightarrow P\) |
易错点 "\(P\Rightarrow Q\)" 的否定不是 "\(P\Rightarrow \lnot Q\)"，而是 "\(P\land \lnot Q\)"．全称的否定是存在：\(\lnot(\forall x,P(x))\equiv \exists x,\lnot P(x)\)．
1.3 实数系、绝对值与邻域
大学实数系 \(\mathbb{R}\) 的概念．实数由有理数 \(\mathbb{Q}\) 与无理数组成．有理数可写成两个整数之比 \(\dfrac{p}{q}\ (q\neq 0)\)，如 \(\dfrac12\)、\(-3\)、\(0.25\)；无理数不能表为分数，如 \(\sqrt2\)、\(\pi\)、\(e\)．实数具备三条性质：
- 有序性：任意两个实数可以比较大小；
- 稠密性：任意两个不同实数之间仍存在实数；
- 连续性（完备性）：实数轴没有"空隙"——这是极限理论能够严格建立的基础（有理数轴在 \(\sqrt2\) 处"断"了，实数轴不断）．
区间（用不等式描述的数集）
| 名称 | 记号 | 含义 |
|---|---|---|
| 开区间 | \((a,b)\) | \(\{x\mid a<x<b\}\) |
| 闭区间 | \([a,b]\) | \(\{x\mid a\le x\le b\}\) |
| 半开半闭（左开） | \((a,b]\) | \(\{x\mid a<x\le b\}\) |
| 半开半闭（右开） | \([a,b)\) | \(\{x\mid a\le x<b\}\) |
| 无穷区间 | \((a,+\infty)\)、\((-\infty,b]\)、\((-\infty,+\infty)=\mathbb{R}\) | 一端或两端无界 |
绝对值．
\(|x|=\begin{cases}x,&x\ge 0\\-x,&x<0\end{cases}\)
- 非负性：\(|x|\ge 0\)，且 \(|x|=0\Leftrightarrow x=0\)．
- 乘积：\(|xy|=|x||y|\)；商：\(\left|\dfrac{x}{y}\right|=\dfrac{|x|}{|y|}\ (y\neq 0)\)．
- 三角不等式：\(|a+b|\le |a|+|b|\)；更一般 \(|a|-|b|\le |a\pm b|\le |a|+|b|\)．
邻域
\(a\) 的 \(\delta\) 邻域：\(U(a,\delta)=\{x\mid |x-a|<\delta\}\)
去心邻域：\(\mathring{U}(a,\delta)=\{x\mid 0<|x-a|<\delta\}\)
邻域是定义"极限""连续"的核心工具，"\(|x-a|<\delta\)"即"\(x\) 与 \(a\) 的距离小于 \(\delta\)"．
去心邻域：\(\mathring{U}(a,\delta)=\{x\mid 0<|x-a|<\delta\}\)
2 代数运算基本功 #
代数变形能力是高等数学的"肌肉"．求导、积分、极限化简，本质都是把这些公式用熟．
2.1 乘法公式与因式分解
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
一般因式分解公式（注意奇偶区别）
任意正整数 \(n\)：\(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})\)
\(n\) 为奇数：\(a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})\)
\(n\) 为偶数：\(a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})\)
前两式分别对任意 \(n\) 与奇数 \(n\) 成立；末式说明偶数幂差在第一式的 \((a-b)\) 因子之外，还多出一个 \((a+b)\) 因子（例如 \(a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)\)）．三式展开均为交错和，末项均为 \(+b^{n-1}\)．注意：偶数 \(n\) 时 \(a^n+b^n\) 在实数范围内不能像奇数那样简单分解（如 \(a^2+b^2\) 不可约）．
\(n\) 为奇数：\(a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})\)
\(n\) 为偶数：\(a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})\)
2.2 配方与完全平方
二次函数配方用于求顶点、判符号、作积分换元．
\(ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\quad (a\neq 0)\)
2.3 分式运算与通分
\(\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}\)
\(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)
\(\frac{a/b}{c/d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\quad(b,c,d\neq 0)\)
\(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)
\(\frac{a/b}{c/d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\quad(b,c,d\neq 0)\)
常用技巧：部分分式分解 \(\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\)（用于裂项求和与有理函数积分）．
2.4 根式与有理化
\(\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\)（\(a\ge 0\) 时对任意 \(n\) 成立）
\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\ (a,b\ge 0)\)；\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (b>0)\)
分母有理化：\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\)
\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\ (a,b\ge 0)\)；\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (b>0)\)
分母有理化：\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\)
2.5 指数与对数
\(a^m\cdot a^n=a^{m+n},\quad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad (ab)^n=a^n b^n\)
指数运算条件：当 \(m,n\in\mathbb{R}\) 时要求 \(a>0\)；若 \(m,n\) 均为整数，则 \(a\) 可为任意实数（含负数与 0，0 的非正次幂除外）．
| 对数性质 | 公式 |
|---|---|
| 积 | \(\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N\) |
| 商 | \(\log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N\) |
| 幂 | \(\log_a(M^n)=n\log_a M\) |
| 换底 | \(\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}\) |
| 互逆 | \(a^{\log_a x}=x,\quad \log_a(a^x)=x\) |
约定：\(\ln x=\log_e x\)（自然对数，高等数学默认底数），\(\lg x=\log_{10}x\)．
对数性质成立条件：底数 \(a>0\) 且 \(a\neq 1\)；真数 \(M,N,x,b>0\)；换底式中 \(c>0,\ c\neq 1\)．其中 \(\log_a(M^n)=n\log_a M\) 在 \(n\in\mathbb{R}\) 时要求 \(M>0\)；若 \(n\) 为整数且 \(M\neq 0\)，左右均为实数时公式仍成立，但本手册统一在 \(M>0\) 下使用．
常用值 \(e\approx 2.71828\)，\(\ln 2\approx 0.693\)，\(\ln 10\approx 2.303\)，\(\log_2 e\approx 1.443\)．
2.6 二项式定理
\((a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k
=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{n}b^n\)
其中 \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)．用于展开多项式、近似计算与概率（\(n\) 为非负整数，\(a,b\) 为实数或复数）．
3 函数 #
函数是高等数学的研究对象．大学把"函数"严格化为"集合间的映射"，并强调其几何与代数双重性质．
3.1 映射与函数概念
衔接函数是从一个集合到另一个集合的单值对应：每个自变量 \(x\) 对应唯一的函数值 \(y=f(x)\)．
函数的二要素
- 定义域：自变量的取值范围；
- 对应法则：由 \(x\) 确定 \(y\) 的规则．
3.2 定义域、值域、对应法则
- 分式：分母 \(\neq 0\)；偶次根式：被开方数 \(\ge 0\)．
- 对数：真数 \(>0\)，底数 \(>0\) 且 \(\neq 1\)．
- 反三角：如 \(\arcsin x\) 要求 \(x\in[-1,1]\)．
- 复合函数定义域：逐层向内限制．
例 \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{\ln(2-x)}\) 的定义域：
\(x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1\)；\(2-x>0\Rightarrow x<2\)；且 \(\ln(2-x)\neq 0\Rightarrow 2-x\neq 1\Rightarrow x\neq 1\)．
故定义域为 \((1,2)\)．
3.3 函数的四个特性
| 特性 | 定义 | 说明 |
|---|---|---|
| 奇偶性 | \(f(-x)=f(x)\) 为偶；\(f(-x)=-f(x)\) 为奇 | 定义域须关于原点对称 |
| 单调性 | 设 \(I\) 为定义域区间．若对任意 \(x_1<x_2\in I\)，都有 \(f(x_1)\le f(x_2)\)（严格情形取 \(<\)），则称 \(f\) 在 \(I\) 上单调增（严格单调增）；反向不等式为单调减 | 大学中由导数符号判定 |
| 周期性 | 存在 \(T\neq 0\)，使对定义域内所有 \(x\) 有 \(f(x+T)=f(x)\) | 最小的正数 \(T\) 称最小正周期 |
| 有界性 | 存在 \(M>0\)，使得对一切 \(x\in I\)，都有 \(|f(x)|\leqslant M\) | 称 \(f\) 在 \(I\) 上有界；否则无界 |
3.4 反函数与复合函数
定义（复合函数） 设 \(y=f(u)\) 的定义域为 \(D_f\)，\(u=g(x)\) 的值域为 \(R_g\)．若 \(R_g\cap D_f\neq\varnothing\)，则
\(y=f(g(x))\)
为由外层函数 \(f\) 与内层函数 \(g\) 复合而成的复合函数，记作 \(f\circ g\)．
定义（反函数） 若 \(y=f(x)\) 是单射（例如严格单调），则对值域中每个 \(y\) 存在唯一 \(x\) 使 \(f(x)=y\)，由此得到逆映射，记为 \(x=f^{-1}(y)\)；按习惯把自变量仍记作 \(x\)，改写为
\(y=f^{-1}(x)\)
称为 \(f\) 的反函数．
反函数与复合函数的结论
- 图像关系：原函数与反函数的图像关于直线 \(y=x\) 对称．
- 定义域与值域互换：\(D(f^{-1})=R(f)\)，\(R(f^{-1})=D(f)\)．
- 复合还原：\((f^{-1}\circ f)(x)=x\)，\((f\circ f^{-1})(y)=y\)．
- 存在性：严格单调函数必有反函数．
注意 \(f^{-1}(x)\) 表示反函数，不是 \(\dfrac{1}{f(x)}\)．记号 \(f^{-1}\) 在此表示"逆映射"．
3.5 基本初等函数
高等数学中，基本初等函数指以下五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数．其图像、定义域与值域如下．
（1）幂函数 \(y=x^\alpha\)
| 表达式 | 定义域 | 值域 |
|---|---|---|
| \(y=x^2\)（\(\alpha>0\) 偶次） | \(\mathbb{R}\) | \([0,+\infty)\) |
| \(y=x^{1/2}=\sqrt{x}\)（\(\alpha>0\) 非整数） | \([0,+\infty)\) | \([0,+\infty)\) |
| \(y=x^{-1}=1/x\)（\(\alpha<0\)） | \((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\) | \((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\) |
（2）指数函数 \(y=a^x\ (a>0,a\neq 1)\)
| 表达式 | 定义域 | 值域 |
|---|---|---|
| \(y=a^x\) | \(\mathbb{R}\) | \((0,+\infty)\) |
过点 \((0,1)\)；\(a>1\) 单调增，\(0<a<1\) 单调减．
（3）对数函数 \(y=\log_a x\ (a>0,a\neq 1)\)
| 表达式 | 定义域 | 值域 |
|---|---|---|
| \(y=\log_a x\) | \((0,+\infty)\) | \(\mathbb{R}\) |
过点 \((1,0)\)；与指数函数互为反函数．
（4）三角函数
图像与详细恒等式见第4章．此处给出定义域与值域概览．
| 函数 | 定义域 | 值域 |
|---|---|---|
| \(\sin x\)、\(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) | \([-1,1]\) |
| \(\tan x\) | \(x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cot x\) | \(x\neq k\pi\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sec x\) | \(x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\) | \((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\) |
| \(\csc x\) | \(x\neq k\pi\) | \((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\) |
（5）反三角函数
图像、定义域与值域见 4.7．
3.6 初等函数
定义 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算与有限次复合，且能用一个解析式表示的函数，称为初等函数．
例如 \(y=\sqrt{1+\sin x}\)、\(y=e^{-x^2}\)、\(y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\) 都是初等函数．分段函数一般不是初等函数（除非能合并成一个式子）．高等数学研究的主要对象就是初等函数．
4 三角函数 #
三角恒等式是微积分的"运算字典"——求导、积分、级数展开都离不开它．
4.1 弧度制
\(180^\circ=\pi\ \text{rad}\)；弧长 \(l=r\theta\)（\(\theta\) 为弧度）；扇形面积 \(S=\frac12 r^2\theta\)
| 角度 | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) | \(180^\circ\) | \(270^\circ\) | \(360^\circ\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 弧度 | \(0\) | \(\pi/6\) | \(\pi/4\) | \(\pi/3\) | \(\pi/2\) | \(\pi\) | \(3\pi/2\) | \(2\pi\) |
4.2 定义、定义域、值域与特性
设锐角直角三角形中，角 \(\theta\) 的对边、邻边、斜边分别为 \(a,b,c\)，则 \(\sin\theta=\dfrac{a}{c}\)，\(\cos\theta=\dfrac{b}{c}\)，\(\tan\theta=\dfrac{a}{b}\)，并推广到任意角．
| 函数 | 定义 | 定义域 | 值域 | 特性 |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(\dfrac{1}{\csc x}\) | \(\mathbb{R}\) | \([-1,1]\) | 奇函数，周期 \(2\pi\) |
| \(\cos x\) | \(\dfrac{1}{\sec x}\) | \(\mathbb{R}\) | \([-1,1]\) | 偶函数，周期 \(2\pi\) |
| \(\tan x\) | \(\dfrac{\sin x}{\cos x}\) | \(x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\) | \(\mathbb{R}\) | 奇函数，周期 \(\pi\) |
| \(\cot x\) | \(\dfrac{\cos x}{\sin x}\) | \(x\neq k\pi\) | \(\mathbb{R}\) | 奇函数，周期 \(\pi\) |
| \(\sec x\) | \(\dfrac{1}{\cos x}\) | \(x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\) | \((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\) | 偶函数，周期 \(2\pi\) |
| \(\csc x\) | \(\dfrac{1}{\sin x}\) | \(x\neq k\pi\) | \((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\) | 奇函数，周期 \(2\pi\) |
特殊角数值
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\ \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\ \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\)
\(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\ \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\ \cos\frac{\pi}{3}=\frac12\)
\(\tan\frac{\pi}{4}=1,\ \tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3\)
\(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\ \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\ \cos\frac{\pi}{3}=\frac12\)
\(\tan\frac{\pi}{4}=1,\ \tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3\)
4.3 同角关系与诱导公式
\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)
\(1+\tan^2 x=\sec^2 x\)
\(1+\cot^2 x=\csc^2 x\)
\(1+\tan^2 x=\sec^2 x\)
\(1+\cot^2 x=\csc^2 x\)
成立范围：第一式对任意 \(x\in\mathbb{R}\) 成立；第二式在 \(\tan x,\sec x\) 有定义处成立，即 \(x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\)；第三式在 \(\cot x,\csc x\) 有定义处成立，即 \(x\neq k\pi\)．以上 \(k\in\mathbb{Z}\)．
诱导公式口诀 "奇变偶不变，符号看象限"．
- \(\dfrac{k\pi}{2}\pm x\) 中 \(k\) 为奇数时函数名改变（正余弦互换、正余切互换）；\(k\) 为偶数时不变．
- 符号由原角所在象限决定 \(\pm x\) 的三角函数值符号．
4.4 和差倍半角公式
\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)
\(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)
\(\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\)
\(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)
\(\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\)
倍角：\(\sin 2x=2\sin x\cos x\)
\(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x\)
\(\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x}\)
\(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x\)
\(\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x}\)
半角：\(\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2},\quad \cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}\)
\(\tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{\sin x}\)
\(\tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{\sin x}\)
注意：上式三个等号两侧成立范围不同．\(\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}\)、\(\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}\) 对任意 \(x\in\mathbb{R}\) 成立；\(\frac{\sin x}{1+\cos x}\) 要求 \(\cos x\neq -1\)（即 \(x\neq \pi+2k\pi\)）；\(\frac{1-\cos x}{\sin x}\) 要求 \(\sin x\neq 0\)（即 \(x\neq k\pi\)）．两分式同时成立需 \(x\neq k\pi\)．开方形式记为 \(\tan\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)，符号由 \(\frac{x}{2}\) 所在象限决定．
4.5 和差化积与积化和差
\(\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
\(\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)
\(\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
\(\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)
\(\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)
\(\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
\(\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\)
\(\sin A\cos B=\frac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)]\)
\(\cos A\sin B=\frac12[\sin(A+B)-\sin(A-B)]\)
\(\cos A\cos B=\frac12[\cos(A+B)+\cos(A-B)]\)
\(\sin A\sin B=-\frac12[\cos(A+B)-\cos(A-B)]\)
\(\cos A\sin B=\frac12[\sin(A+B)-\sin(A-B)]\)
\(\cos A\cos B=\frac12[\cos(A+B)+\cos(A-B)]\)
\(\sin A\sin B=-\frac12[\cos(A+B)-\cos(A-B)]\)
4.6 万能公式
令 \(t=\tan\dfrac{x}{2}\)，则三角式可化为关于 \(t\) 的有理式，常用于积分．
\(\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad \tan x=\frac{2t}{1-t^2}\)
其中 \(t=\tan\dfrac{x}{2}\) 要求 \(x\neq (2k+1)\pi\)（否则 \(\tan\dfrac{x}{2}\) 无定义）；\(\tan x=\dfrac{2t}{1-t^2}\) 还需 \(t\neq \pm1\)（即 \(x\neq \pm\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)）．当 \(x=\pi+2k\pi\) 时 \(t=0\)，仍有 \(\sin x=0,\ \cos x=-1\)．万能代换常用于将三角有理式的积分化为关于 \(t\) 的有理函数积分．
4.7 反三角函数
大学为定义反函数，须限制原三角函数的定义域使其单调，并取"主值"分支．
| 函数 | 定义域 | 值域（主值） | 特性 |
|---|---|---|---|
| \(\arcsin x\) | \([-1,1]\) | \([-\pi/2,\pi/2]\) | 奇函数，单调增 |
| \(\arccos x\) | \([-1,1]\) | \([0,\pi]\) | 单调减，\(\arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x\) |
| \(\arctan x\) | \(\mathbb{R}\) | \((-\pi/2,\pi/2)\) | 奇函数，单调增 |
| \(\operatorname{arccot} x\) | \(\mathbb{R}\) | \((0,\pi)\) | 单调减，\(\operatorname{arccot} x=\frac{\pi}{2}-\arctan x\) |
\(\sin(\arcsin x)=x\)，但 \(\arcsin(\sin x)=x\) 仅当 \(x\in[-\pi/2,\pi/2]\)．
常用：\(\arctan x+\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(x)\ (x\neq 0)\)．
常用：\(\arctan x+\arctan\frac1x=\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(x)\ (x\neq 0)\)．
5 不等式 #
5.1 一次、二次不等式
一元一次不等式 \(ax+b>0\)：
- 若 \(a>0\)，解为 \(x>-\dfrac{b}{a}\)；
- 若 \(a<0\)，两边除以负数，不等号反向，解为 \(x<-\dfrac{b}{a}\)；
- 若 \(a=0\)，则化为 \(b>0\)，恒成立或无解视 \(b\) 而定．
一元二次不等式 \(ax^2+bx+c>0\)（以"大于 0"为例）：
- 化为标准形式；若 \(a<0\)，两边乘 \(-1\) 使二次项系数变正（不等号反向）；
- 由判别式 \(\Delta=b^2-4ac\) 求方程 \(ax^2+bx+c=0\) 的根 \(x_1\le x_2\)（无实根时视为无根）；
- 依抛物线开口向上，取"根之外"：
- \(\Delta>0\)：解集 \(x<x_1\) 或 \(x>x_2\)；
- \(\Delta=0\)：解集 \(x\neq x_1\)（全体实数去掉一点）；
- \(\Delta<0\)：解集为全体实数 \(\mathbb{R}\)．
若不等式为"<0"，则取"两根之间"．
5.2 均值不等式
二元 \(a,b>0\Rightarrow \dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)，等号当且仅当 \(a=b\)．
推广（算术—几何平均不等式）：\(\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\)
成立条件：\(a_1,\dots,a_n>0\)，\(n\in\mathbb{N}^+\)；等号当且仅当 \(a_1=\cdots=a_n\)．
用均值不等式求最值的"一正二定三相等"
- 一正：参与不等式的变量都为正实数；
- 二定：变量的"和"或"积"为定值，才能由此得到定值的最值；
- 三相等：等号能够取到，即存在使各变量相等的具体情形．
5.3 绝对值不等式
\(|x|<a\ (a>0)\Leftrightarrow -a<x<a\)
\(|x|>a\ (a>0)\Leftrightarrow x<-a\ \text{或}\ x>a\)
\(|a|-|b|\le |a\pm b|\le |a|+|b|\)
\(|x|>a\ (a>0)\Leftrightarrow x<-a\ \text{或}\ x>a\)
\(|a|-|b|\le |a\pm b|\le |a|+|b|\)
5.4 柯西与伯努利不等式
柯西不等式（Cauchy）
\(\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)\ge\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2\)
向量形式：\(|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}|\le |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\)．
成立条件：\(a_i,b_i\in\mathbb{R}\)（或复数取模）．等号当且仅当两数组成比例，即存在常数 \(\lambda\) 使 \(a_i=\lambda b_i\)（或其一全为零）．
伯努利不等式（Bernoulli）
\((1+x)^n\ge 1+nx\quad(x>-1,\ n\in\mathbb{N},\ n\ge 1)\)
用于极限中的放缩与估计（如证明 \((1+\frac1n)^n\) 单调增）．
5.5 常见放缩技巧
- 分母放大使分数变小：\(\dfrac{1}{n^2+n}<\dfrac{1}{n^2}\)．
- 裂项相消（见 6.2）．
- 利用单调性：若 \(f\) 在区间 \(I\) 上单调增，且 \(x_1<x_2\)，则 \(f(x_1)<f(x_2)\)；据此常把函数不等式转化为自变量的大小比较，用于解含参不等式或证明数列单调．
- 夹逼：若 \(a_n\le b_n\le c_n\) 且两端趋于同一极限，则 \(b_n\) 也趋于该极限（大学"夹逼准则"）．
6 数列与数学归纳法 #
6.1 等差与等比数列
| 等差（公差 \(d\)） | 等比（公比 \(q\)） | |
|---|---|---|
| 通项 | \(a_n=a_1+(n-1)d\) | \(a_n=a_1 q^{n-1}\) |
| 前 \(n\) 项和 | \(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d\) | \(S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\ (q\neq1)\) |
| 中项 | \(2b=a+c\) | \(b^2=ac\) |
6.2 数列求和
自然数和：\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}\)
平方和：\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
立方和：\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\)
裂项：\(\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Rightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}\)
平方和：\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
立方和：\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\)
裂项：\(\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Rightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}\)
错位相减法用于"等差×等比"型求和（大学级数求和的前身）．
6.3 递推与数学归纳法
常见递推：\(a_{n+1}=a_n+d\)（等差）、\(a_{n+1}=q a_n\)（等比）、\(a_{n+1}=a_n+f(n)\)（累加法）．
数学归纳法两步
- 奠基：验证 \(n=1\)（或某起点）成立．
- 归纳：假设 \(n=k\) 成立，推出 \(n=k+1\) 成立．
7 解析几何 #
7.1 坐标与距离
两点距离：\(|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
中点：\(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
点到直线距离：\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
中点：\(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
点到直线距离：\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
7.2 直线与圆
- 直线方程：点斜式 \(y-y_0=k(x-x_0)\)；斜截式 \(y=kx+b\)；一般式 \(Ax+By+C=0\)．
- 两直线平行 \(k_1=k_2\)，垂直 \(k_1 k_2=-1\)（均要求两直线斜率存在，即均非竖直线；含竖直线时需用一般式 \(A_1B_2=A_2B_1\) 平行、\(A_1A_2+B_1B_2=0\) 垂直另行判断）．
- 圆：\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\)，圆心 \((a,b)\)，半径 \(R\)．
7.3 圆锥曲线
| 曲线 | 标准方程 | 关键参数 |
|---|---|---|
| 椭圆 | \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)\) | 焦距 \(c=\sqrt{a^2-b^2}\)，\(c/a=e\)（离心率） |
| 双曲线 | \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) | \(c=\sqrt{a^2+b^2}\)，渐近线 \(y=\pm\frac{b}{a}x\) |
| 抛物线 | \(y^2=2px\ (p>0)\) | 焦点 \((p/2,0)\)，准线 \(x=-p/2\) |
7.4 参数方程与极坐标
定义（参数方程） 用参数 \(t\) 表示曲线上点的坐标：
\(x=\varphi(t),\quad y=\psi(t)\)
一元函数中，常把 \(y=f(x)\) 写成参数形式以便于积分或求导（如令 \(t=x\)）；圆、摆线等用参数方程描述更方便．
定义（极坐标） 平面上点用 \((\rho,\theta)\) 表示，\(\rho\) 为到极点（原点）的距离，\(\theta\) 为极角．与直角坐标的转换：
\(x=\rho\cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta,\quad \rho^2=x^2+y^2\)
一元函数中，极坐标常用于积分换元（如圆域）以及描述螺线、玫瑰线等曲线．
8 常用数学符号 #
8.1 逻辑与集合符号
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| \(\in,\ \notin\) | 属于 / 不属于 |
| \(\subseteq,\ \subsetneq\) | 包含于 / 真包含于 |
| \(\cup,\ \cap,\ \setminus\) | 并 / 交 / 差 |
| \(\forall,\ \exists\) | 任意 / 存在 |
| \(\Rightarrow,\ \Leftrightarrow\) | 推出 / 等价 |
| \(\mathbb{N,Z,Q,R,C}\) | 自然数/整数/有理数/实数/复数 |
8.2 求和求积与希腊字母
求和：\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i=a_1+a_2+\cdots+a_n\)
求积：\(\displaystyle\prod_{i=1}^{n} a_i=a_1 a_2\cdots a_n\)
阶乘：\(n!=1\cdot2\cdots n\)，约定 \(0!=1\)
求积：\(\displaystyle\prod_{i=1}^{n} a_i=a_1 a_2\cdots a_n\)
阶乘：\(n!=1\cdot2\cdots n\)，约定 \(0!=1\)
| 大写 | 小写 | 读法 | 常见用途 |
|---|---|---|---|
| \(A\) | \(\alpha\) | alpha | 角度、系数 |
| \(B\) | \(\beta\) | beta | 系数、β分布 |
| \(\Delta\) | \(\delta\) | delta | 增量、判别式、无穷小量 |
| \(\Theta\) | \(\theta\) | theta | 角度、极角 |
| \(\Lambda\) | \(\lambda\) | lambda | 特征值、参数 |
| \(\Pi\) | \(\pi\) | pi | 圆周率、连乘 |
| \(\Sigma\) | \(\sigma\) | sigma | 求和、标准差 |
| \(\Phi\) | \(\phi,\varphi\) | phi | 角度、黄金比 |
| \(\Omega\) | \(\omega\) | omega | 角频率、样本空间 |
各章在高等数学中的用途 #
下面归纳各章预备知识在《高等数学》（微积分）中的典型用途，帮助你在学正文时知道"这些公式什么时候会用到"．
- 1 集合、逻辑与实数系：\(\forall/\exists/\Rightarrow\) 是极限、连续、一致收敛等严格定义的"标点符号"；实数系的连续性（完备性，即确界存在原理）是极限理论得以建立的前提；邻域是极限与连续定义中 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 的"半径"；集合的并、交、补运算用于书写定义域、值域与解集．
- 2 代数运算基本功：因式分解用于有理函数积分的分母分解与极限化简；配方用于积分换元（消去二次项、化为标准型）；分式通分、根式有理化用于含根式的极限与积分；指数对数贯穿求导（\(e^x,\ln x\)）、解微分方程与增长率计算；二项式定理是泰勒展开的有限项特例．
- 3 函数：全书的研究对象．定义域决定一切运算的合法范围；反函数用于换元积分与反函数求导；复合函数是链式法则与隐函数求导的基础；基本初等函数与初等函数是求导、积分、级数展开的全部"零件"．
- 4 三角函数：求导/积分公式表的来源（\(\sin x,\cos x\) 等的导数与积分）；万能公式把三角积分化为有理式积分（魏尔斯特拉斯换元）；反三角函数本身就是许多积分的结果，如 \(\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x\)；傅里叶级数以正余弦为基底．
- 5 不等式：极限夹逼准则、积分估值、最值问题（均值不等式"一正二定三相等"）的核心工具；柯西不等式用于向量模长估计与级数收敛判定；绝对值不等式用于极限估计与误差控制．
- 6 数列与归纳法：级数是数列和的延伸，求和公式（尤其 \(\sum k,\sum k^2\)）出现在黎曼和与级数计算中；数列极限、递推关系是微积分中极限理论的直系前身；数学归纳法是证明数列与不等式命题的通用手段．
- 7 解析几何：多元函数的图形、重积分的积分区域、曲线积分的路径描述都依赖坐标与曲线知识；参数方程与极坐标用于描述曲线、求弧长与曲线围成面积，极坐标换元（如圆域、扇形）则用于二重积分．
- 8 常用数学符号：统一全书的求和/求积、希腊字母与逻辑符号记法，是读懂定义、定理与教材文献的前提．
附录 公式速查表 #
A. 代数
- 平方差：\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
- 完全平方：\((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\)
- 立方和差：\(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)
- 对数换底：\(\log_a b=\dfrac{\ln b}{\ln a}\)
B. 三角
- \(\sin^2x+\cos^2x=1\)
- \(\sin 2x=2\sin x\cos x\)
- \(\cos 2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\)
- \(\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\)
- 万能：\(t=\tan\frac{x}{2}\Rightarrow \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\)
C. 不等式与求和
- 均值不等式：\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\ (a,b>0)\)，等号当且仅当 \(a=b\)；推广 \(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i\ge\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_i}\ (a_i>0)\)．
- 柯西不等式：\(\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)\ge\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i b_i\right)^2\ (a_i,b_i\in\mathbb{R})\)．
- 伯努利不等式：\((1+x)^n\ge 1+nx\ (x>-1,\ n\in\mathbb{N},\ n\ge1)\)．
- 绝对值三角不等式：\(|a|-|b|\le |a\pm b|\le |a|+|b|\)．
- 自然数和：\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\)．
- 平方和：\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)．
- 立方和：\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\)．
- 等比和：\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a q^k=\frac{a(1-q^n)}{1-q}\ (q\neq1)\)．
本手册为《高等数学》课前/课中速查工具，覆盖高中到大学的主要预备知识．检索框可快速定位章节．配合课本例题使用，重在把公式用熟．